Desigualdades con valor absoluto


Como ya habia mencionado, una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de comparación o desigualdad (>,<,>= o <=) y que también se conoce como inecuación por que no contiene el signo de igual como una ecuación.

Te presento una presentación (valga la redundancia), que trata de enfocarse sobre los aspectos mas importantes de las desigualdades con valor absoluto: conceptos, propiedades del valor absoluto, propiedades de las desigualdades con valor absoluto y ejemplos resueltos.

Desigualdades_con_Valor_absoluto (1)

Espero tus comentarios y sugerencias. Saludos

Ing. Miguel Angel Espinoza Zárate

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Desigualdades cuadráticas. proceso de resolución


Resolución de desigualdades cuadráticas

  1. El proceso de resolución de las desigualdades cuadráticas, se lleva a cabo iniciando con la verificación del tipo de desigualdad. Una desigualdad cuadrática tiene como características el hecho de contar con un elemento de comparación denominado signo de desigualdad que puede contener cualquiera de las siguientes: <, >, ≤ o ≥. También debe verificarse que la desigualdad o inecuación contenga una expresión del tipo ax2 ±bx±c.
  2. Así, para realizar la verificación se deben agrupar los términos semejantes.
  3. Si es cuadrática, se obtienen las raíces de esa expresión. Para lo cual se debe convertir en ecuación, es decir igualarla a 0. Esta obtención, puede realizarse por medio de el método de factorización o por medio de la formula general  . Si no, entonces se aplica el procedimiento correspondiente.
  4. Si las raíces pertenecen al conjunto de números imaginarios, se establece que el intervalo de solución es un conjunto vacío Φ. FIN
  5. Se transforma la expresión cuadrática en sus factores y se analiza la desigualdad y si la comparación es mayor (>) o mayor o igual (≥), se establecen los intervalos:
    1. Se considera que ambos factores son mayores que cero
    2. Se resuelven los factores por separado y se establece el intervalo de cada uno (intervalo 1 y 2)
    3. Se obtiene la intersección de ambos intervalos (intervalo 3)
    4. Se consideran ambos factores son menores que cero.
    5. Se resuelven los factores por separado y se establece el intervalo de cada uno (intervalo 4 y 5)
    6. Se obtiene la intersección de ambos intervalos (intervalo 6)
    7. Se obtiene la unión de ambos intervalos como intervalo solución.
    8. FIN
    9. Como la expresión de la desigualdad resultó < o ≤ a 0
      1. Se considera que el factor 1 es mayor que cero y el factor 2 es menor que cero.
      2. Se resuelven los factores por separado y se establece el intervalo de cada uno (intervalo 1 y 2)
      3. Se obtiene la intersección de ambos intervalos (intervalo 3)
      4. Se considera el factor 1 menor que cero y el factor 2 mayor que cero.
      5. Se resuelven los factores por separado y se establece el intervalo de cada uno (intervalo 4 y 5)
      6. Se obtiene la intersección de ambos intervalos (intervalo 6)
      7. Se obtiene la unión de ambos intervalos como intervalo solución.
      8. FIN.

Agradeceré sus comentarios y sugerencias con la seguridad de enviarles las respuestas personalmente y considerarlas en los subsecuentes artículos. Saludos
Miguel Angel Espinoza Zárate
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Proceso de resolución de Desigualdades fraccionarias


Resolviendo desigualdades fraccionarias.
Una desigualdad fraccionaria es del tipo xaxb >o < ooc , o un formato similar.
para el proceso de resolución es importante recordar que todo numero o expresión matemática que se divide por cero, se indetermina, se indefine. Es decir, no se puede determinar o definir un valor específico.
Por lo anterior, una expresión fraccionaria solo se puede evaluar para: (a) cuando el denominador es mayor que cero, lo cual al ubicarlo en la recta numérica nos indica que corresponde a los números reales positivos; y (b) cuando el denominador es menor que cero, conjunto de números negativos en la recta numérica.
En la resolución de este tipo de desigualdades seguimos el siguiente proceso: 

  1. Consideramos que el denominador es mayor que cero.
  2. Evaluamos la expresión de desigualdad fraccionaria, normalizandola al multiplicar ambos miembros por el denominador, como este se considera positivo se aplica la propiedad de la desigualdad que indica:
    1. si a > b y c > 0 entonces ac > bc. Al multiplicar una desigualdad por una expresión o cantidad positiva la desigualdad se afecta solo por la multiplicación en ambos lados de la desigualdad.
  3. Se realizan las operaciones algebraicas, uno de los resultados es la eliminación del denominador en el primer miembro.
  4. Se agrupan los términos comunes: Las expresiones con la incógnita del lado derecho y las constantes del lado izquierdo.
  5. Se realizan las operaciones algebraicas en ambos lados de la desigualdad. Resultado: la reducción de las expresiones en ambos lados.
  6. Se revisa el signo de la expresión con la incógnita, si es negativo se multiplican ambos miembros de la desigualdad por (-1) aplicando la propiedad:
    1. si a > b y c < 0, entonces ac < bc. al multiplicar una desigualdad por una expresión o valor negativo se afectan ambos lados por la multiplicación correspondiente y se invierte el signo de la desigualdad.
  7. Se despeja la incógnita
  8. Se establece el intervalo de solución, o conjunto solución de la desigualdad. Intervalo Solución 1
  9. Se evalúa la expresión del denominador > 0
  10. Se agrupan los términos en cada lado de la desigualdad
  11. Se revisa la expresión de la incógnita, Si es negativa se multiplica por (-1) aplicando la propiedad de la multiplicación por valor negativo.
  12. Se despeja la incógnita
  13. Se establece el intervalo o conjunto solución.  Intervalo solución 2
  14. Se obtiene la intersección de los intervalos o conjuntos antes determinados
    1. Intervalo solución 3 = (Intervalo solucion 1)  (Intervalo solución 2)
  15. Se considera, ahora que el denominador es negativo, es decir menor que cero.
  16. Evaluamos la expresión de desigualdad fraccionaria, normalizandola al multiplicar ambos miembros por el denominador, como este se considera negativo se aplica la propiedad de la desigualdad que indica:
    1. si a > b y c < 0 entonces ac < bc. Al multiplicar una desigualdad por una expresión o cantidad negativa la desigualdad se afecta por la multiplicación en ambos lados de la desigualdad y se invierte el signo de la desigualdad.
  17. Se realizan las operaciones algebraicas, uno de los resultados es la eliminación del denominador en el primer miembro.
  18. Se agrupan los términos comunes: Las expresiones con la incógnita del lado derecho y las constantes del lado izquierdo.
  19. Se realizan las operaciones algebraicas en ambos lados de la desigualdad. Resultado: la reducción de las expresiones en ambos lados.
  20. Se revisa el signo de la expresión con la incógnita, si es negativo se multiplican ambos miembros de la desigualdad por (-1) aplicando la propiedad:
    1. si a > b y c < 0, entonces ac < bc. al multiplicar una desigualdad por una expresión o valor negativo se afectan ambos lados por la multiplicación correspondiente y se invierte el signo de la desigualdad.
  21. Se despeja la incógnita
  22. Se establece el intervalo de solución, o conjunto solución de la desigualdad. Intervalo Solución 4
  23. Se evalúa la expresión del denominador < 0
  24. Se agrupan los términos en cada lado de la desigualdad
  25. Se revisa la expresión de la incógnita, Si es negativa se multiplica por (-1) aplicando la propiedad de la multiplicación por valor negativo.
  26. Se despeja la incógnita
  27. Se establece el intervalo o conjunto solución. Intervalo solución 5
  28. Se obtiene la intersección de los intervalos o conjuntos antes determinados
    1. Intervalo solución 6 = (Intervalo solucion 4)  (Intervalo solución 5)
  29. Se estable el intervalo solución de la desigualdad por:
    1. Intervalo solución 7 = (Intervalo solución 6) (Intervalo solución 3).

NOTA: en todos los casos la notación de los intervalos debe respetar los signos de desigualdad y se expresan de menor a mayor valor. Es decir, considerando la recta numérica la expresión debe respetar el orden de – infinito a +infinito.

Agradeceré personalmente sus comentarios y sugerencias.
Saludos
Ing. Miguel Angel Espinoza Zárate
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Proceso de resolución de desigualdades lineales


Una desigualdad lineal tiene las siguientes características:

·         Las incógnitas que aparecen en la expresión solo tienen potencia de grado 1

·         La comparación se realiza por medio de una desigualdad (<,>,≤,≥)

·         Solo aparece una variable incógnita en la expresión

·         La expresión al graficar representa una línea recta.

El proceso de resolución que se aplica para la resolución de desigualdades lineales es:

  • Se agrupan los términos semejantes en un elemento de la expresión, por lo general del extremo derecho los monomios que contienen a la incógnita y del lado izquierdo del signo de desigualdad a las constantes.
  • Se realizan las operaciones algebraicas para la reducción de expresiones.
  • Se verifica si el monomio que contiene la incógnita es de signo positivo o negativo. Si es signo negativo se multiplica la desigualdad por (-1), aplicando la propiedad que indica al multiplicar que la desigualdad por un número negativo, se afectan los elementos por la multiplicación y  el signo de la desigualdad se invierte.
  • Se despeja la incógnita.
  • Se establece el intervalo se solución.
Con mucho gusto recibiré sus comentarios y sugerencias.
Saludos
Ing. Miguel Angel Espinoza Zárate

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Resolviendo Desigualdades lineales


Resolviendo Desigualdades Lineales

EJEMPLO 1

Hallar el intervalo de solución de la siguiente desigualdad:

2x + 7 ≤ 4x +14

  1. Verificar el tipo de desigualdad
    1. El hecho de que la expresión solo contenga variables con potencia de 1, nos indica que es una desigualdad lineal. Por lo tanto,
    2. Aplicar el proceso de solución correspondiente:
      1. Agrupar los términos semejantes
        1. (2x -4x) +(7-14) ≤ 0
  2. Realizar las operaciones algebraicas pertinentes
    1. (-4x) +(-7) ≤ 0
  3. Despejar la expresión con la incógnita
    1. -4x ≤ 7
  4. Si la expresión de la incógnita es menor que cero (negativa) multiplicar por (-1) y aplicar la propiedad de la desigualdad de la  multiplicación por expresión negativa.
    1. (-4x) (-1) ≥ (7) (-1)
  5. Realizar las operaciones algebraicas
    1. 4x ≥ -7
  6. Despejar la incógnita
    1. x ≥ -(7/4)
  7. Establecer el intervalo solución, si es necesario con ayudad de la recta numérica.
    1. [-(7/4), +∞)

Solución: [-(7/4), +∞)

Conceptos  involucrados: Desigualdad, desigualdad lineal, operaciones algebraicas, propiedades de las desigualdades lineales, recta numérica, intervalo, intervalo semiabierto.

Las preguntas son:

  • ¿Por qué al multiplicar la expresión por (-1) cambió el signo de la desigualdad?
  • ¿Por qué el intervalo solución  es un intervalo semiabierto?

Agradeceré me envíen los comentarios, sugerencias y dudas y por supuesto las respuestas a las preguntas. Su servidor con gusto responderá a cada una de ellos.

Gracias y saludos

Ing. Miguel Angel Espinoza Zárate.

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Desigualdades Lineales


Antes de iniciar, me parece es necesario contar con el dominio y la definición propia de unadesigualdad.

¿Qué es una desigualdad matemática?

Para contestar esa pregunta, un servidor contestaría primero ¿ Qué es una igualdad matemática?

Una definición de igualdad, nos dice: La igualdad es el trato idéntico que un organismo, estado, empresa, asociación, grupo o individuo le brinda a las personas sin que medie ningún tipo de reparo por la raza, sexo, clase social u otra circunstancia plausible de diferencia o para hacerlo más práctico, es la ausencia de cualquier tipo de discriminación. (http://www.definicionabc.com/social/igualdad.php)

Esta definición es poco aplicable a la definición de igualdad en matemáticas. Una igualdad  es aquella expresión que contiene una comparación de igualdad entre dos elementos de esa expresión. Por ejemplo: 5 = 3 +2.  los elementos involucrados (expresiones) son dos conjuntos de números, el primer conjunto de un elemento, el 5 ; y el conjunto formado por los elementos 2 y 3 y la operación de adición +.

Ejemplo 2: a = 4, aquí comparamos dos conjuntos algebraicos; el primer conjunto formado por un elemento que resulta es una variable a; y un segundo conjunto de un solo número 4

En ambos casos, el signo de comparación es el signo = y es el signo que denota una igualdad, o , con su otro nombre conocido; ecuación.

Resumiendo la respuesta; una igualdad matemática es una expresión que compara a dos conjuntos de elementos o a dos elementos por medio del signo =, a esta expresión se le conoce también con el nombre de ecuación.

Entendido el concepto anterior, ahora se puede decir que que una desigualdad es una expresión  matemática que compara dos conjunto de elementos por medio de un signo, diferente al de igualdad, denominado de desigualdad. Esos signos pueden ser: < (menor que), > (mayor que), <= (menor o igual que); y >= (mayor o igual que).

Bien ahora , propongo que resolvamos la siguiente desigualdad:

4x – 5 > 2x + 3

¿Cuáles son los conceptos matemáticos involucrados en la resolución de este ejercicio?

Agradeceré sus respuestas en los comentarios, para continuar con la resolución de estas expresiones matemáticas.

saludos

Ing. Miguel Angel Espinoza Zárate

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Introducción


El Cálculo Diferencial es un área de las matemáticas que se enfoca en la derivación e integración de funciones matemáticas, principalmente.

Esta página, tiene como objetivo el ayudar a adquirir la competencia de resolución de problemas aplicando las derivadas de funciones matemáticas.

Para alcanzar este objetivo es necesario, tener dominio sobre diversas competencias previas:

  1. Modelado de problemas, de la vida real , a través de funciones matemáticas.
  2. Resolución de problemas.
  3. Operaciones con funciones matemáticas.
  4. Clasificación de funciones matemáticas.
  5. Limites y continuidad de funciones matemáticas.
  6. Desigualdades matemáticas
  7. Ecuaciones matemáticas.
  8. Álgebra
  9. Trigonometría
  10. Geometría analítica.
  11. Aritmética y
  12. Geometría.

En cada uno de los ejercicios que realizaremos, revisaremos las competencias previas necesarias y donde se requiere haremos un alto temporal para realizar actividades de aprendizaje que nos permita alcanzar la competencia necesaria y luego continuar con la adquisición de la competencia objetivo.

Lo ideal sería iniciar con las operaciones aritméticas, pero en atención a la disponibilidad de tiempo y de espacio curricular, comenzaremos con las desigualdades.

Mucho agradeceré me envíen sus comentarios y sugerencias, que su servidor atenderá personalmente y lograr una comunicación eficaz que nos permita alcanzar nuestra meta en un tiempo suficiente y pertinente.

Saludos

Ing. Miguel Angel Espinoza Zárate

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